Dragan Bjelogrlić je preko dva desetljeća u skladnom braku s Majom Bjelogrlić s kojom je dobio kćer Miju i sina Alekseja.
24-godišnji Aleksej je i jako cijenjen kao glumac, a svoju karijeru započeo je 2010. godine pojavivši se u filmu svog oca, Dragana Bjelogrlića, 'Montevideo, Bog te video' gdje je tumačio ulogu Aleksandra Tirnanića Tirketa iz djetinjstva.
Naime, mladi Aleksej je od kolovoza 2021. godine član Jugoslavenskog dramskog kazališta što mu je donijelo titulu najmlađeg člana ikada, jednog od najcjenjenijih kazališta u regiji. Velika zanimljivost je ta što je njegov otac režirao predstavu 'Dobro pamtim sve' u kojoj je mladi akademik i glumio.
'Nemam osjećaj da sam nešto poznat, ako i osjećam da sam poznat ne pripisujem to sebi već svom prezimenu, nažalost je tako, i nisam previše sretan zbog toga, ali nosim se s tim, nosim ga s ponosom', izjavio je jednom prilikom za N1 televiziju.
Inače, Aleksej je završio 14. beogradsku gimnaziju i upisao glumu na Fakultetu dramskih umjetnosti u klasi profesora Dragana Petrovića Pele.